L017 抽象代数中的其他问题

群的「同构」

Thm.9.6-9.8 Cor.9.9 Thm.9.10

Thm.9.12（Cayley 定理）

「左正则表示」（left regular representation [of group \(G\)]）

「外直积」

Prop.9.13 Thm.9.17 Cor.9.18 Thm.9.21 Cor.9.22-9.23

「内直积」

Thm.9.27（内外直积同构）Thm.9.29

「正规群」（normal group）与「正规子群」、「因子群/商群」（factor group/quotient group）

Thm.10.3-10.4

「单群」（simple group）

Lem.10.8-10.11

「有限单群分类定理」（CFSG, classification of finite simple groups）

「线性变换/线性映射」、「可逆」/「非奇异」的矩阵、「一般线性群」、「特殊线性群」、「正交」的矩阵、「欧氏空间内积」/「点积」、「长度」、「距离」、「Kronecker delta 函数」、「正交集」、「保距」、「保长」、「保内积」、「特殊正交群」、「欧几里得群」。

「等距同构」/「刚体运动」、「滑移反射」、「对称群」、「格栅」、「基」、「幺模」的矩阵、「空间群」、「平移子群」和「点群」。

「环」、「幺元/单位元」（unify, identity）、「交换环」、「整环」（integral domain）、「除环」（division ring）、「单位」（unit）、「域」（field）、「四元数」（quaternion）、「子环」（subring）\

【这 integral domain 明明是个 domain，结果翻译成整环。历史上除环曾被称为域，现在只称交换除环为域，非交换除环称为「斜域」或「体」；除环又称为「反称域」或「体」】

Prop.16.8 Prop.16.10

「零因子」（zero divisor）、「整环」、「单位」、「除环」、「域」、「高斯整数」（Gaussian integer）、

【单位即有逆元的元素，必然不是零因子】

Prop.16.15（消去律）、Thm.16.16（有限整环必为域）、Lem.16.18

「环同态」、「环同构」、环同态的「核」（kernel）、「代值同态」（evaluation homomorphism）、

Prop.16.22

「理想」（ideal）、「平凡理想」（trivial ideal）、「主理想」（principal ideal）、「双边理想」（two-sided ideal）和「单边理想」、「左理想」和「右理想」

Thm.16.25 Prop.16.27 Rmk.16.28

「因子环」/「商环」（factor ring, quotient ring）

【理想&商环之于环就是正规子群&商群之于群啊】

Thm.16.30

「自然同态」/「标准同态/典范同态」（natural homomorphism, canonical homomorphism）

Thm.16.31（第一同构定理）Thm.16.32（第二同构定理）Thm.16.33（第三同构定理）Thm.16.34（对应定理，第四同构定理，格定理，correspondence theorem）

「极大理想」（maximal ideal）、

Prop.16.38

女数学家「艾米·诺特」（Emmy Noether）